Чем отличается признак от свойства в геометрии

Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников». Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников» УРОК 1. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ………………………………………………………………………. Тема урока: «Построение треугольников. Тема урока: «Признаки равенства треугольников». Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26 Приложения к урокам………………………………………………………………. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников» Признаки равенства треугольников Первый признак Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны Справочная таблица. Теорема 1 признак равенства треугольников по двум чем отличается признак от свойства в геометрии и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем, что треугольники равны, т. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина С2 лежит одной полуплоскости с вершиной С1 относи-тельно прямой А1В1. Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема 2 признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем, то треугольники равны, т. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2 равный треугольнику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина С2 лежит в одной полуплоскости вершиной С1 относительно прямой А1В1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает вершиной С1. Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Докажем, что он равнобедренный с чем отличается признак от свойства в геометрии АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Теорема 4 называется обратной теореме 3. Чем отличается признак от свойства в геометрии теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК — медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К — середина отрезка АВ. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК — биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК — высота треугольника. Теорема 6 признак равенства треугольников по трем сторонам. Если три стороны одного чем отличается признак от свойства в геометрии равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1. Допустим, что вершина С1 не лежит ни на луче А1С1, ни на луче В1С1. Пусть К — середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 — равнобедренные с общим основанием С1С2. По теореме 5 их медианы А1К и В1К являются высотами. Значит, прямые А1К и В1К перпендикулярны прямой С1С2. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников» УРОК 1 Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников» Цели урока: развить представление о многоугольнике; вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам; Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника. Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки. Урок начинается с беседы учителя. Среди множества различных фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства «много углов». Для определения многоугольника важно указать, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга. Какая из фигур, изображенных на рисунке 1, является многоугольником? Каким наименьшим числом можно заменить «много» в слове «многоугольник»? Знакомый всем нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного. На экране изображен треугольник ABC рис. Вводятся названия основных его элементов и делается запись в тетрадях. D ABC: A, B, C — вершины; AB, BC, CA — стороны; РA, РB, РC — углы. Измерьте углы D ABC и вычислите их сумму. Большинство учащихся получают результат, равный 180°. Вывод: сумма градусных мер углов треугольника равна 180°. В треугольнике один из углов равен 65°, а другой 80°. Чему равен третий угол этого треугольника? В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 40°, а градусная мера угла A в три раза больше. Найдите градусную меру угла Продолжим знакомство с треугольниками. Учитель обращает внимание на модели треугольников, размещенные на магнитной доске. Все большое семейство треугольников можно разделить на группы в зависимости от сторон и углов. По ходу введения видов треугольников заполняется таблица рис. Вид треугольника Равнобедренный Равносторонний Разносторонний Прямоугольный Тупоугольный Остроугольный Рис. Определите на глаз вид каждого треугольника. Из шести одинаковых палочек сложите четыре равных треугольника. Задание на дом 1. Составьте рисунки из геометрических фигур преимущественно из треугольниковузоры из треугольников. УРОК 2 Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» Цели урока: развить представление о треугольниках; изучить терминологию, связанную с понятиями равнобедренного и равностороннего треугольников; открыть неизвестные ранее свойства равнобедренного и равностороннего треугольников; продолжить построение треугольников с заданными свойствами на нелинованной бумаге; учить детей анализу задач на построение. Оборудование: схема-классификация треугольников; выставка рисунков учащихся на предыдущем уроке было задано домашнее задание — выполнить рисунки с использованием изображения треугольника ; слайды с изображениями треугольников. Организационный момент Проверка готовности к уроку наличие чертежных инструментов, нелинованной бумаги. Два ученика получают задания и выполняют их на доске. Начертите прямоугольный треугольник так, чем отличается признак от свойства в геометрии стороны, образующие прямой угол, были равны 3 дм и 5 дм. В треугольнике ABC градусная мера угла A равна 58°, а угла B равна 49°. Вычислите градусную меру угла Четыре ученика получают карточки с заданием и выполняют работу на нелинованной бумаге. Каков вид этого треугольника? С остальными учениками проводится фронтальный опрос. Назовите треугольники, изображенные на доске рис. Назовите вершины D MKN. Назовите стороны D PST. Назовите углы D ABC. Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами? С двумя тупыми углами? Существует ли треугольник, все углы которого больше 70°? Вид треугольника Равнобедренный Равносторонний Разносторонний Прямоугольный Тупоугольный Остроугольный Рис. Определите «на глаз» вид каждого из треугольников, изображенных на слайдах рис. Ученики, работающие по карточкам, сдают выполненное задание. Те, кто работал у доски, рассказывают, как выполняли задание. Дополнительные вопросы им задают ученики. Итак, на предыдущем уроке мы познакомились с треугольником изучили их виды. Как же построить равнобедренный треугольник с помощью циркуля и линейки? Ученики предлагают провести произвольный отрезок, чем отличается признак от свойства в геометрии из концов отрезка как из центров, не меняя раствора циркуля, провести дуги до пересечения. Точку пересечения соединить с концами отрезка. Почему вы уверены, что получился равнобедренный треугольник? Взяли раствор циркуля, не равный построенному отрезку и провели дуги равных окружностей. Точка их пересечения находится на равном расстоянии от концов отрезка. Вводится название сторон: чем отличается признак от свойства в геометрии, боковые стороны рис. Большинство учеников получают равные градусные меры, и учитель сообщает, что именно таким образом в Древней Греции практическим путем установили, что «углы при основании» равны. И лишь много лет спустя это было доказано. Физкультурная пауза Ученики повторяют за учителем все движения. Соедините вершину B с серединой противоположной стороны. Измерьте углы BMC и BMA. Используя модель равнобедренного треугольника, учитель перегибает модель по отрезку BM. Задание на дом 1. Измерьте все его углы. Проведите отрезки, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон. УРОК 3 Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» Цели урока: научить учеников строить треугольник, равный данному, используя циркуль и линейку; из опыта практической деятельности учащиеся должны понять, что треугольники равны по трем элементам; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Оборудование: у каждого ученика набор чертежных инструментов, чем отличается признак от свойства в геометрии бумага, ножницы. Работа с классом На доске изображены фигуры. На рисунке 9 проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник на два треугольника. Определите «на глаз» вид получившихся треугольников. Проведите прямую так, чтобы она разбила четырехугольник рис. Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился разносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника? Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковые стороны вдвое больше основания. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 64°. Найдите два других угла этого треугольника. Работа в группах из четырех человек Задание для каждой группы с разными данными. Три группы из шести групп рассказывают, как проводили построение. Сравните его с треугольниками, построенными учениками из своей группы. В каждой группе получили равные треугольники. Казалось бы, ничего удивительного нет, данные были одинаковы, но. Какой вывод можно сделать? У всех разные треугольники. Работа в группах Задание одинаково для пар групп. Постройте треугольники, у которых стороны равны: 1 6 см, 2 см, 3 чем отличается признак от свойства в геометрии 2 6 см, 2 см, 4 см; 3 6 см, 2 см, 7 см. В ходе построений и рассуждений ученики приходят к выводу, что у треугольника каждая сторона меньше суммы двух других сторон, в противном случае треугольник построить невозможно. Минутка отдыха Передайте чем отличается признак от свойства в геометрии настроение с помощью изображения треугольника. Кто-то раскрашивает треугольник в разные цвета, кто-то составляет фигурки из треугольников, кто-то изображает рожицы, проявляя выдумку и фантазию рис. Проверочная работа Вариант 1 1. Постройте равнобедренный тупоугольный треугольник. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны в три раза больше. Постройте равнобедренный остроугольный треугольник. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковые стороны в три раза больше. УРОК 4 Тема урока: «Признаки равенства треугольников» Цели урока: систематизировать теоретические знания по теме, закрепить умения и навыки использования теоретических знаний к решению задач; развить творческий подход интерес к обучению. Три ученика около доски записывают опорный конспект: 1 три признака равенства треугольников; 2 равнобедренный треугольник и его свойства; 3 признаки равенства прямоугольных треугольников. В это время учитель проводит фронтальный опрос класса. Сформулируйте 1 признак равенства треугольников. Сформулируйте 2 признак равенства треугольников. Какой треугольник называется равнобедренным? Сформулируйте признак равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. Чем отличается признак геометрической фигуры от ее свойства? Сформулируйте 3 признак равенства треугольников. Какой треугольник называется равносторонним? Что считается признаком, что — свойством равностороннего D-ка? К каждой ли теореме существует обратная? Приведите пример теоремы, к которой не существует обратной. Приведите пример теоремы, к которой существует обратная. Как строится обратная теорема? Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. После фронтального опроса учитель проводит беседу по опорным конспектам на доске. Если необходимо, то ученики класса дополняют исправляют записи на доске. Два ученика около доски решают задачи по готовым рисункам, которые выполнены учителем до урока. Если необходимо, то ученики класса дополняют исправляют записи на доске. Задачи по готовым рисункам 1. Найти: РBDM, РMDC, РDMC, РMCD. Физкультурная пауза Ученики повторяют за учителем все движения. Учитель с учениками устно решает задачи по готовым рисункам, изображенным на плакатах. Ученики должны найти на рисунках равные треугольники и объяснить равенство, назвав соответственный признак равенства треугольников. Задачи для устного решения. При написании математического диктанта повторяются три признака равенства треугольников, понятие равнобедренного треугольника, его свойства и признаки. Цель диктанта — систематизировать и повторить важные факты данной темы, способствовать развитию внимания, логического мышления и математического зрения учеников, сформировать навыки умственной деятельности. Учитель зачитывает задания, а ученики записывают ответы к ним или ставят знак «+», если учитель называет правильный ответ. После выполнения задания ученики обмениваются тетрадями для перекрес-тной проверки. Такая система контроля развивает у учеников честность и объективность в оценивании результатов своей деятельности и деятельности одноклассников. Задание диктанта предлагается по вариантам. В DKNO и DPQT равные стороны KN и PQ и углы K и Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 1 признаку равенства треугольников? У равных DBCD и DMPQ углы B и D равны соответственно углам M и Что следует из условия по 2-му признаку равенства треугольников? В DАВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE, BD соответственно равны 3 см, 5 см, 6 см. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников? В DABC и DDEF равные чем отличается признак от свойства в геометрии AB и DE и углы A и Какое еще равенство должно выполняться, чтобы треугольники были равными по 1 признаку равенства треугольников? У равных DMRQ и DKLT углы M и Q равны соответственно углам K и Что следует из условия согласно 2 признаку равенства треугольников? В DАВС проведены биссектрисы AD, BE, CF. Какое еще условие должно выполняться, чтобы треугольники были равны по 3 признаку равенства треугольников? Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепьювыбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В из которой можно было бы к ним пройти. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Чтобы измерить на местности расстояние чем отличается признак от свойства в геометрии двумя точками А и В, из которых одна точка А недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок Чем отличается признак от свойства в геометрии. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда НG равно искомому расстоянию. Чтобы измерить расстояние между пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, при помощи эккера провешивают перпендикулярно к АВ отрезок BD произвольной длины. Делят BD в точке Е пополам. Проводят перпендикуляр DC чем отличается признак от свойства в геометрии BD в точке D; идут по DC, смотря на А, до точки С, которая лежит на чем отличается признак от свойства в геометрии АЕ. Длина DC равна АВ. Точки А1, В1 и С1 соединены прямыми. Доказать, что треугольник А1В1С1 тоже равносторонний. Каждая из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ - за вершину В; ВС - за вершину С; СА - за вершину А; на продолжениях чем отличается признак от свойства в геометрии отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37 м и 24 м. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. УРОК 6 Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников» Все учителя чем отличается признак от свойства в геометрии начале изучения темы определяют для себя и для учащихся требования, предъявляемые к знаниям учащихся в конце ее изучения. В течение всего времени, отведенного на конкретную тему, работа учителя и учеников нацелена на достижение всеми учащимися обязательных результатов обучения. При этом используются различные виды уроков и различные формы работы. Результаты усвоения темы выявляет урок-зачет или контрольная работа. Накануне последнего урока по теме целесообразно проводить по ней обобщающие уроки. Удачно спланированный, детально продуманный, такой урок позволяет в полной мере раскрыться как учителю, так и ученикам. Эти уроки позволяют учителю за короткие промежутки времени 3—5 мин или чем отличается признак от свойства в геометрии минменяя формы и приемы работы, проверить качество знаний учеников по конкретной теме, проверить умение применять эти знания в различных заданиях. Именно на уроках обобщения знаний наиболее ярко прослеживается структура познавательной деятельности учащихся. Она может быть охарактеризована следующим образом: учебно-практическое задание ® процесс выполнения задания ® обобщение результата в практической деятельности, абстрагирование ® чем отличается признак от свойства в геометрии математических понятий ® систематизация математических знаний ® интерпретация полученных знаний. По дидактическим функциям занятия могут быть обучающими, познавательными, проверочными. На таких уроках продолжается процесс познания, хотя этот урок заключительный, т. В результате работы на уроке знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих учащихся. Опыт показывает, что на таких уроках активность учащихся намного выше, чем на других уроках, а в результате и качество запоминания и воспроизведения изучаемого материала намного выше. Принцип состоит в том, что на таких уроках ученики не только воспринимают чем отличается признак от свойства в геометрии от учителя, но и сами активно участвуют в его создании и усвоении путем сочетания мыслительных операций с практическими действиями. В это время у ребят развивается творческая самостоятельность, инициатива, лучше реализуется принцип связи теории и практики. Организационный момент 2—3 мин. Завершается сообщением темы и цели урока которые, в принципе, ученикам уже известны. Это делается еще и для того, чтобы перенастроить их мыслительную деятельность после предыдущего урока на настоящий урок. Повторение признаков равенства треугольников 3—5 мин. Работают сразу 6 учеников лучше слабых. Трое — на доске на чертеже «показывают признаки», а трое учеников их формулируют. Тест на знание признаков равенства треугольников 8—10 мин. Каждый учащийся получает лист с изображением 10 пар треугольников, на которых отмечены соответственно равные элементы приложение 1. Предлагается отыскать пары треугольников, о равенстве которых можно утверждать, опираясь на один из признаков. На первый взгляд работа кажется простой, но это только в случае глубокого знания признаков. Свои результаты учащиеся чем отличается признак от свойства в геометрии в лист фиксирования результатов приложение 2. Такая форма работы должна быть уже опробована, чтобы время на организацию было минимально. В случае положительного ответа ученик вносит в 1-й столбец номер признака, по которому треугольники равны, в случае отрицательного ответа строку оставляют пустой. Во время работы над тестом ученики получают коды для проверки приложение 3. После 5—6 мин работы — самопроверка. Для этого лист-код прикладывают ко второму столбцу. При этом совпадение ответов ученика и кода отмечается знаком «+» в третьем столбце. Подсчитывается количество заработанных баллов. Работа сразу же оценивается. Критерии оценок: 10 баллов — оценка «5», 9 баллов — «4», 8 баллов — «3», меньше — «2». Как правило, двоек на этом этапе обучения уже не бывает. Проверка и подведение чем отличается признак от свойства в геометрии занимает 1—2 мин. Работа с опорной таблицей 5 мин. Смена письменной работы на устную не позволяет снизиться работоспособности. У каждого ученика в течение изучения всей темы имеется опорная таблица приложение 4. Рассматриваем задачи 4, 7, 6. На любом этапе работы ученик может по сигналу учителя передать «эстафету» решения любому ученику по своему желанию. Этим достигается предельное внимание. Работа с таблицами полезна для развития геометрической наблюдательности и для выработки умения применять признаки равенства треугольников. Кроме того, учащиеся приучаются понимать рисунок. Групповая работа 8—10 мин. Групповые занятия являются промежуточными между коллективным фронтальным индивидуальным видами работы. Первоочередная цель групповой работы — эффективная помощь всем средним и слабоуспевающим учащимся. Работа идет в звеньях. Каждое звено состоит из четырех человек, в него входят как сильные, так и слабые учащиеся. Звенья рассаживаются так, чтобы одна пара учащихся сидела за другой. Во время работы «передняя пара» поворачивается к паре, сидящей сзади. На данном уроке ученикам каждого звена предлагается по одной задаче, участие в обсуждении и решении которой принимают все. Это обусловлено тем, что ученики заранее не знают, кто из них будет «отчитываться о проделанной работе». Это может быть представитель, «выдвинутый» учениками или назначенный учителем. Группам предлагаются задачи, которые являются подготовительными к решению задачи следующего этапа; это «ступеньки к вершине». Здесь ярко прослеживается многоступенчатость в решении сложных задач, где каждая ступень — это задача, но более простая. Подготовительные задачи позволяют сформировать у учащихся опыт в решении задач и тем самым облегчить решение сложной задачи. На эту работу отводится 10—12 мин. Решение итоговой задачи 8—10 мин. Форма работы — фронтальная. Предлагается задача с готовым чертежом и записанными данными; ученики должны внимательно ее изучить. Цель считается достигнутой, если в этой задаче они увидят «свою» задачу, которую они решали в группе. Задача решается в несколько шагов со ссылкой на 3 ранее разобранные задачи, причем поэтапность в решении очень хорошо просматривается с помощью кодоскопных пленок наложением. Задача, ее решение и обсуждение занимают 7—10 мин. Математический диктант 3—4 мин. Эта форма работы позволяет за короткий промежуток времени 3—4 мин проверить глубину знаний учащихся, выставить оценки, проанализировать ошибки. Диктант следует проводить на листочках под копирку: один экземпляр ученики сдают учителю для проверки, другой оставляют себе. Вопросы построены так, что подразумевается ответ «да» или «нет». Верно ли, Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Методика преподавания темы «Параллельные прямые. Задачи, связанные с чем отличается признак от свойства в геометрии прямыми». Проведение практических уроков по теме «Параллельность прямых использование признаков параллельности при решении геометрических задач». Особенности применения теорем Пифагора и косинусов в делении углов на равновеликие части. Порядок нахождения углов в геометрических фигурах с помощью биссектрис. Методика деления угла на три равные части с использованием способа угла больше развернутого. Билеты по геометрии 9 класса БИЛЕТ 1 1. Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта. В статье рассматривается эффективный метод решения геометрических задач — метод подобия. Освоение этого метода весьма полезно для учителя математики. Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Цель предлагаемого задания — повторить материал по планиметрии для дальнейшего его использования при решении задач по стереометрии, а также применения при решении олимпиадных задач. Вписанная и описанная окружности в чем отличается признак от свойства в геометрии и четырехугольниках, их определение и построение. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний. Рассмотрим применение простейших движений плоскости, таких как параллельный перенос, симметрия и вращение поворот при решении задач элементарной геометрии на вычисление и доказательство. Преобразования подобия, их свойства. Доказательство теоремы: гомотетия есть преобразование подобия. Основные признаки подобия треугольников, решение типовых задач. Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Выполнил: ученик класса средней школы Матвеев Евгений. Руководитель проекта: черетина Через любые две точки Если две прямые имеют общую Ознакомление с понятиями синуса, косинуса, тангенса острого угла чем отличается признак от свойства в геометрии треугольника и основным тригонометрическим тождеством. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольная по заданному основанию и прилегающему к нему углу. Меры площади, использовавшиеся в Древней Руси, их эволюция и современное состояние. Площадь многоугольника и прямоугольника. Определение и доказательство площади квадрата. Формула площади параллелограмма и треугольника, трапеции. Кировский Физико-математический лицей Реферат на тему ''Свойства равногранного тетраэдра'' Выполнил : ученик 10 ''А'' класса Соболев Александр Проверила : Прокашева Маргарита Анатольевна Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.